MATEMATYKA - ALGEBRA
Pochodna funkcji




ILORAZ RÓŻNICOWY FUNKCJI

Iloraz

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu h zmiennej niezależnej.

Niech f jest funkcją określoną na pewnym otoczeniu K punktu x0, zaś h ≠ 0 takż liczbą że,
x0 + h ∈ K.


Przykłady interpretacji fizycznej ilorazu rónicowego
gdzie:
- średnia prędkość poruszającego się punktu;
∆ t - przedział czasu;
s - droga.


gdzie:
- średnie natężenie prądu;
∆ t - przedział czasu;
q - natężenie prądu.


Pochodna funkcji w punkcie

Granicę włściwą (jeśli istnieje) ilorazu różnicowego

dla h dążącego do 0 nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f ' (x0).



INTERPRETACJA FIZYCZNA

Jeżeli punkt K porusza się po osi 0S i współrzędna punktu s punktu K jest funkcją czasu: s = s (t) oraz ∆ t ≠ 0 oznacza przyrost czasu, to iloraz różnicowy

jest średnią prędkością punktu K pomiędzy chwilami t oraz ∆ t.
Pochodna funkcji

Jeżeli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie x pewnego przedziału ( lub zbioru punktów ), to określoną na tym przedziale ( zbiorze ) funkcję:

nazywamy funkcja pochodną funkcji f.
Pochodna jednostronna funkcji

Jeżeli iloraz różnicowy funkcji [ f (x) - f (x0) / x - x0 ] ma granicę jednostronną w punkcie x0, to granicę tę nazywamy pochodna jednostronną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy odpowiednio symbolami:
f+' (x0) - pochodna prawostronna;
f-' (x0) - pochodna lewostronna.
Funkcja różniczkowalna


FUNKCJA RÓŻNICZKOWALNA W PUNKCIE x0
Funkcję f zmiennej rzeczywistej określoną w pewnym otoczeniu punktu x0 nazywamy różniczkowalną w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje pochodna funkcji f w punkcie x0.

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 to jest w tym punke ciągła.

Różniczkowalność w punkie x0 badamy:
1. Obliczając granicę:


2. Obliczając:

i

oraz sprawdzając czy: f-' (x0) = f+' (x0).


FUNKCJA RÓŻNICZKOWALNA W ZBIORZE
Funkcję nazywamy różniczkowalną w zbiorze, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru.
II pochodna

II POCHODNA
Jeżeli funkcja pochodna f ' jest różniczkowalna, to pochodną funkcji f ' nazywamy pochodną drugiego rzędu ( II pochodną ) funkcji f i oznaczamy symbolem f ''.

Pochodne wyższych rzędów określa się analogicznie !!!

INTERPRETACJA FIZYCZNA II POCHODNEJ
Przyspieszenie a (t) jest pochodną prędkości względem czasu, czyli jest II pochodną drogi względem czasu.

a (t) = v ' (t) czyli a (t) = s '' (t)
Twierdzenia o pochodnych

PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA POCHODNYCH

Jeżeli funkcje f i g mają pochodne w punkcie x, to:

[ c ∘ f (x) ] ' = c ∘ f '(x) gdzie c - dowolna stała ∈ R

[ f (x) + g (x) ] ' = f '(x) + g '(x)

[ f (x) - g (x) ] ' = f '(x) - g '(x)

[ f (x) ∘ g (x) ] ' = f '(x) ∘ g(x) + f(x) ∘ g '(x)

[ f (x) / g (x) ] ' = { f '(x) ∘ g(x) + f(x) ∘ g '(x) / [g(x)]2 } gdzie g(x) ≠ 0

{ f [ g(x) ]} ' = f '[g(x)] ∘ g '(x)

TWIERDZENIE O WARTOŚCI ŚREDNIEJ (Lagrange'a)

Jeżeli funkcja y = f(x) jest ciągła w przedziale <a; b> i różniczkowalna w przedziale (a; b) to istniej taki punkt c ∈ (a; b), że:



WNIOSKI Z TWIERDZENIA LAGRANGE'A

∗ dla każdego x ∈ (a; b) f '(x) = 0 ⇔ funkcja f jest stała w przedziale (a; b)
∗ dla każdego x ∈ (a; b) f '(x) > 0 ⇔ funkcja f jest rosnąca w przedziale (a; b)
∗ dla każdego x ∈ (a; b) f '(x) < 0 ⇔ funkcja f jest malejąca w przedziale (a; b)

UWAGA !
Wnioski te są kryterium różniczkowym badania monotoniczności funkcji.

TWIERDZENIE ROLLE'A

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a; b> i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, oraz f(a) = f(b) to istnieje taki punkt c ∈ (a; b), że f '(c) = 0.


Pochodne funkcji ekstremalnych

ZESTAWIENIE POCHODNYCH

WZÓR FUNKCJI POCHODNA UWAGI
f(x) = c f '(x) = 0 c ∈ R
f(x) = ax + b f '(x) = a
f(x) = ax2 + bx + c f '(x) = 2ax + b
f(x) = xα f '(x) = α ∙ xα - 1 α ∈ R \ {0,1}
f(x) = √x f '(x) = 1 / 2√x x > 0
f(x) = a / x f '(x) = - a / x2 x ≠ 0
f(x) = n√x f '(x) = 1 / n ∙ n√xn - 1 x > 0 i n ∈ N \ {0,1}
f(x) = sin x f '(x) = cos x
f(x) = cos x f '(x) = - sin x
f(x) = tg x f '(x) = 1 / cos2x x ≠ ∏/2 + k∏ dla k ∈ C
f(x) = ctg x f '(x) = - 1 / sin2x x ≠ k∏ dla k ∈ C
f(x) = ax f '(x) = ax ∙ ln a a > 0
f(x) = ex f '(x) = ex
f(x) = ln x f '(x) = 1 / x x > 0
f(x) = ln |x| f '(x) = 1 / x x ≠ 0
f(x) = logax f '(x) = 1 / x ln a a ≠ 1, a > 0, x > 0
f(x) = arcsinx f '(x) = 1 / √1 - √x2 |x| < 1
f(x) = arccosx f '(x) = - 1 / √1 - √x2 |x| < 1
f(x) = arctgx f '(x) = 1 / 1 + x2
f(x) = arcctgx f '(x) = - 1 / 1 + x2