MATEMATYKA - ALGEBRA
Granica funkcji



Sąsiwdztwo i otoczenie punktu x0

Sąsiedztwo punktu x0


Sąsiedztwem, o promieniu δ punktu x0 nazywamy sumę przedziałów
( x0 - δ; x0 ) ∪ ( x0; x0 + δ ) gdzie δ > 0 i oznaczamy symbolem S ( x0; δ ).



Otoczenie punktu x0


Otoczeniem punktu x0 o promieniu ε > 0 nazywamy przedział otwarty
( x0 - ε; x0 + ε ) i oznaczamy U ( x0; ε ).



Granica funkcji w punkcie

I. DEFINICJA HEINEGO


Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę g, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( xn ), gdzie xn ∈ Df o wyrazach xn ≠ x0 i zbliżonego do x0, ciąg wartości funkcji ( f(xn) ) jest zbieżny do g.



II. DEFINICJA CAUCHY'EGO


Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę g, jeżeli dla każdej liczby ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0, że dla każdego x ∈ S ( x0; δ ) ∩ Df spełniony jest warunek | f(x) - g | < ε.




UWAGA !

Definicje Heinego i Cauchy'ego są względem siebie równoważne !!!
Definicje Heinego
(granica funkcji w nieskończoności)

lim f(x) = g
x ⇢ + ∞
Funkcja f(x) ma granicę g w + ∞ wtedy i tylko wtedy gdy:
lim f(x) = - ∞
x ⇢ + ∞
Funkcja f(x) ma w + ∞ granicę niewłaściwą w - ∞ wtedy i tylko wtedy gdy:
lim f(x) = + ∞
x ⇢ + ∞
Funkcja f(x) ma w + ∞ granicę niewłaściwą w + ∞ wtedy i tylko wtedy gdy:
Oznaczenie graficzne
Granica niewłaściwa

lim f(x) = - ∞
x ⇢ x0
Funkcja y = f(x) ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą - ∞ wtedy i tylko wtedy gdy:
lim f(x) = + ∞
x ⇢ x0
Funkcja f(x) ma w + ∞ granicę niewłaściwą w + ∞ wtedy i tylko wtedy gdy:
Oznaczenie graficzne
Granica jednostronna funkcji

lim f(x) = g
x ⇢ x0-
Liczba g jest granicą lewostronną funkcji y = f(x) w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy:
lim f(x) = g
x ⇢ x0+
Liczba g jest granicą prawostronną funkcji y = f(x) w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy:
lim f(x) = + ∞
x ⇢ x0-
Funkcja y = f(x) ma w punkcie x0 lewostronną granicę niewłaściwą + ∞ wtedy i tylko wtedy gdy:
lim f(x) = + ∞
x ⇢ x0+
Funkcja y = f(x) ma w punkcie x0 prawostronną granicę niewłaściwą - ∞ wtedy i tylko wtedy gdy:
Właściwości granic funkcji

Funkcja y = f(x), określona w pewnym sąsiedztwie punktu x0, ma granicę w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy ma w tym punkcie obie granice jednostronne i granice te są równe.
Jeżeli

to funkcja f nie ma granicy w punkcie x0
Jeżeli
to:
Jeżeli
to:
Jeżeli

i f(x) > 0 w pernym sąsiedztwie punktu x0
to:
Jeżeli

i f(x) < 0 w pernym sąsiedztwie punktu x0
to:
Jeżeli

i c > 0
to:
Jeżeli

i c < 0
to:


Symbole nieoznaczone

Przyjmując że,: 0, - ∞, + ∞, 1 są granicami pewnych funkcji, wyrażenia typu: 0/0, ∞/∞, 0 ∙ ∞, ∞ - ∞, 00, ∞0, 1 nazywamy
symbolami nieoznaczonymi



Reguła de I'Hospitala

Jeżeli funkcje f i h są określone i różniczkowalne w sąsiedztwie punktu x0,
h(x) ≠ 0 i h'(x) = 0
oraz zachodzi jeden z następujących warunków:

i jeśli istnieje granica lim (f'(x) / h'(x)), to istniej granica lim (f(x) / h(x)), przy czym:


Przykłady niektórych granic funkcji