MATEMATYKA - ALGEBRA
Funkcje



Pojęcie funkcji

Funkcja i jej właciwości


X = Df - dziedzina funkcji " f " ( zbiór argumentów funkcji )
Y - przeciwdziedzina funkcji ( f:X ⇢ Y )
D-1 - zbiór wartości funkcji ( f(Df) = D-1 )
x - argument funkcji
y, f(x) - wartość funkcji
f, g, h, ... - symbole funkcji


Pojęcie funkcji


f:X ⇢ Y
∙ Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element y ze zbioru Y
∙ Jeżeli f:X ⇢ Y i D-1 = Y, to mówimy, że funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y

Zbiór wartości funkcji
∙ Jeżeli f:X ⇢ Y, to zbiór D-1 ⊂ Y złożony z tych elementów y ∈ Y, dla których istnieje x ∈ X takie, że y = f(x), nazywamy zbiorem wartości funkcji f
∙ Jeżeli X ⊂ R i Y ⊂ R, to obrazem graficznym zbioru wartości funkcji f: X ⇢ Y jest rzut prostokątny jej wykresu na oś Y
Sposoby określania funkcji

GRAFEM
WZOREM y = f(x) gdzie x ∈ R
y = √x gdzie x ∈ <0;+∞)
y = ax + b gdzie x,a,b ∈ R
y(x) = x2 + bx + c gdzie x ∈ R
y(x) = sinx + cosx gdzie x ∈ <0; 2∏>
y(x) = ctgx gdzie x ∈ R
TABELĄ
zakład pracy | 1 | 2 | 3 | ... |

liczba pracowników | 25 | 46 | 3 | ... |

gdzie: Df = { 1, 2, 3, ... }
D-1 = { 25, 46, 3, ... }
WYKRESEM
Miejsca zerowe
Różnowartościowość
Funkcja odwrotna

MIEJSCE ZEROWE ∙ Miejscem zerowym funkcji y = f(x) nazywamy każdą wartość argumentu x, dla której wartość funkcji y równa jest 0.
∙ Miejsca zerowego funkcji y = f(x) poszukujemy poprzez rozwiązanie równania f(x) = 0 gdzie x ∈ Df
RÓWNOŚĆ FUNKCJI ∙ Dwie funkcje f i g są równe ⇔:
Df = Dg = D oraz dla każdego x ∈ D f(x) = g(x)
FUNKCJA RÓŻNOWARTOŚCIOWA ∙ Funkcję f: X ⇢ Y, która każdej parze różnych argumentów przyporządkowuje różne wartości nazywamy funkcją różnowartościową

WARUNEK ISTNIENIA
dla każdego x1, x2 ∈ X [ x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x1) ]

∙ Określając różnowartościowość funkcji f sprawdzamy, czy spełniony jest warunek: f(x1) - f(x2) ≠ 0, przy założeniu x1 - x2 ≠ 0.

∙ Jeżeli funkcja f jest różnowartościowa, to każda prosta y = m ma co najwyżej 1 punkt wspólny z wykresem funkcji f.

∙ Każda funkcja ściśle monotoniczna jest różnowartościowa.


FUNKCJA ODWROTNA
f-1
∙ Jeżeli funkcja f: X ⇢ Y jest różnowartościowa i odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, to funkcję f-1: Y ⇢ X określoną następująco:
dla dowolnego y ∈ Y wartością f-1(y) jest jedyny element x ∈ X taki, że f(x) = y, nazywamy odwrotną do funkcji f.



∙ Funkcją odwrotną do f-1 jest funkcja f.

∙ Jeżeli funkcja f ma funkcję odwrotną f-1, to funkcję f nazywamy funkcją odwracalną


∙∙∙∙∙ Jeżeli obrazem wykresu funkcji f: X ⇢ Y w symetrii wzg. prostej o równaniu y = x jest wykres funkcji przekształcającej pewien podzbiór X w Y, to funkcja f jest odwracalna. ∙∙∙∙∙

Działania na funkcjach

( k • f)(x) = k • f(x) gdzie x ∈ Df i k ∈ R

( f + g )(x) = f(x) + g(x) gdzie x ∈ Df ∩ Dg

( f - g )(x) = f(x) - g(x) gdzie x ∈ Df ∩ Dg

( f • g )(x) = f(x) • g(x) gdzie x ∈ Df ∩ Dg

( f / g )(x) = f(x) / g(x) gdzie x ∈ Df ∩ Dg \ { x: g(x)=0 }

UWAGA !

Działania na funkcjach f i g mozna wykonywać tylko wtedy gdy mają one jednakowe dziedziny!!!

Określenie funkcji

ZŁOŻENIE FUNKCJI ∙ Jeżeli dane są funkcje f: X ⇢ Y i g: Y ⇢ Z, to istnieje funkcja h: X ⇢ Z określona wzorem:
h(x) = ( g ∘ f )(x) = g(f(x))
zwana złożeniem funkcji f z funkcją g.
FUNKCJA ROSNĄCA ∙ Funkcję f nazywamy rosnącą w zbiorze X, jeżeli dla każdej pary argumentów x1, x2 ∈ X z nierówności x1 < x2 wynika nierówność f(x1) < f(x2).

∙ Funkcję f rosnącą w dziedzinie Df nazywana jest także ściśle rosnącą.

dla każdego x1, x2 ∈ X ⊂ Df
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
FUNKCJA MALEJĄCA ∙ Funkcję f nazywamy malejącą w zbiorze X, jeżeli dla każdej pary argumentów x1, x2 ∈ X z nierówności x1 < x2 wynika nierówność f(x1) > f(x2).

∙ Funkcję f malejąca w dziedzinie Df nazywana jest także ściśle malejącą.

dla każdego x1, x2 ∈ X ⊂ Df
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
FUNKCJA NIEROSNĄCA ∙ Funkcję f nazywamy nierosnącą w zbiorze X, jeżeli dla każdej pary argumentów x1, x2 ∈ X z nierówności x1 < x2 wynika nierówność f(x1) ≥ f(x2).

dla każdego x1, x2 ∈ X ⊂ Df
x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2)
FUNKCJA NIEMALEJĄCA ∙ Funkcję f nazywamy niemalejącą w zbiorze X, jeżeli dla każdej pary argumentów x1, x2 ∈ X z nierówności x1 < x2 wynika nierówność f(x1) ≤ f(x2).

dla każdego x1, x2 ∈ X ⊂ Df
x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)
FUNKCJA MONOTONICZNA ∙ Funkcję, która jest nierosnąca lub niemalejąca nazywa się monotoniczną.

∙ Jeżeli funkcja f określona i różniczkowalna w przedziale A ⊂ Df ma pochodną dodatnią (ujemną) w całym przedziale A, to jest w tym przedziale rosąca (malejąca).

∙ Jeżeli funkcja f, określona i różniczkowalna w przedziale ( a; b ) ⊂ Df, jest w tym przedziale rosnąca (malejąca), to jej pochodna f'(x) przyjmuje wartość nieujemną (niedodatnią) dla każdego x ∈ ( a; b ).





By określić monotoniczność funkcji:
1. Badamy znak różnicy f(x1) - f(x2), przy założeniu, że x1 - x2 > 0, gdzie x1, x2 ∈ A i A ⊂ Df
2. Korzystamy z różniczkowego kryterium badania monotoniczności funkcji (wnioski z twierdzenia Lagrange'a).
FUNKCJA STAŁA Funkcja f: X ⇢ Y jest funkcją stałą, jeżeli istnieje c ∈ Y takie, że dla każdego x ∈ X, f(x) = c.

istnieje c ∈ Y że dla każdego x ∈ X f(x) = c
FUNKCJA OKRESOWA ∙Jeżeli dla funkcji y = f(x) istnieje taka liczba t ≠ 0, że dla każdego x ∈ Df także ( x + t ) ∈ Df i ( x - t ) ∈ Df oraz f(x) = f(x-t) = f(x+t), to funkcję f nazywamy okresową o okresie t.

∙Najmniejszy dodatni okres funkcji nazywa się okresem podstawowym (zasadniczym) funkcji.



Okresowość funkcji badamy:
sprawdzając, czy istnieje liczba t ≠ 0, dla której:
dla każdego x ∈ Df ( x + t ) ∈ Df ∧ ( x - t ) ∈ Df ∧ f(x + t) = f(x)
FUNKCJA WYPUKŁA W PUNKCIE ∙Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a; b) ⊂ Df, to mówimy, że funkcja f jest wypukła w przedziale (a; b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x0 ∈ (a; b) styczna do wykresu tej funkcji w punkcie x0 jest położona pod krzywą.

∙Funkcja f jest wypukła w przdziale (a; b) ⊂ Df, jeśli dla różnych x1, x2 ∈ (a; b) każdy punkt wykresu funkcji f dla x ∈ (x1; x2) leży poniżej prostej przechodzącej przez punkty (x1; f(x1)) i (x2; f(x2)).

∙Jeżeli funkcja y = f(x) ma w przedziale (a; b) ⊂ Df pochodną f'(x) oraz drugą pochodną f''(x) ciągłą i jest w tym przedziale wypukła, to dla każdego x ∈ (a; b) f''(x) ≥ 0.

∙Jeżeli funkcja y = f(x) ma w przedziale (a; b) ⊂ Df pochodną f'(x) oraz drugą pochodną f''(x) ciągłą w tym przedziale i f''(x) > 0 dla każdego x ∈ (a; b), to funkcja f jest wypukła w przedziale (a; b).
FUNKCJA WKLĘSŁA W PUNKCIE ∙Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a; b), to mówimy, że funkcja f jest wklęsła w przedziale (a; b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x0 ∈ (a; b) styczna do wykresu tej funkcji w punkcie x0 jest położona nad krzywą.

∙Funkcja f jest wklęsła w przdziale (a; b) ⊂ Df, jeśli dla różnych x1, x2 ∈ (a; b) każdy punkt wykresu funkcji f dla x ∈ (x1; x2) leży powyżej prostej przechodzącej przez punkty (x1; f(x1)) i (x2; f(x2)).

∙Jeżeli funkcja y = f(x) ma w przedziale (a; b) ⊂ Df pochodną f'(x) oraz drugą pochodną f''(x) ciągłą i jest w tym przedziale wklęsła, to dla każdego x ∈ (a; b) f''(x) ≤ 0.

∙Jeżeli funkcja y = f(x) ma w przedziale (a; b) pochodną f'(x) oraz drugą pochodną f''(x) ciągłą w tym przedziale i f''(x) < 0 dla każdego x ∈ (a; b), to funkcja f jest wklęsła w przedziale (a; b).
FUNKCJA OGRANICZONA Funkcję f, której zbiór wartości jest ograniczony nazywa się funkcją ograniczoną.

istnieje takie M ∈ R, że dla każdego x ∈ Df |f(x)| ≤ M
FUNKCJA PARZYSTA Funkcję f określoną na zbiorze Df nazywamy parzystą, jeżeli dla każdego argumentu x ∈ Df liczba - x ∈ Df oraz f(-x) = f(x).

dla każdego x ∈ Df [ -x ∈ Df ∧ f(-x) = f(x) ]

Funkcja f jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór Df jest symetryczny względem zera oraz oś 0Y jest osią symetrii wykresu tej funkcji.
FUNKCJA NIEPARZYSTA Funkcję f określoną na zbiorze Df nazywamy nieparzystą, jeżeli dla każdego argumentu x ∈ Df liczba - x ∈ Df oraz f(-x) = - f(x).

dla każdego x ∈ Df [ -x ∈ Df ∧ f(-x) = - f(x) ]

Funkcja f jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór Df jest symetryczny względem zera oraz punkt O = (0, 0) jest środkiem symetrii wykresu tej funkcji.
Ciągłość funkcji

FUNKCJA CIĄGŁA W PUNKCIE x0 Funkcję f zmiennej rzeczywistej nazywamy funkcją ciągłą w punkcie x0 ∈ Df wtedy i tylko wtedy gdy:
lim f(x) = f(x0)
x⇢x0

czyli:
1. funkcja f ma w punkcie x0 granicę g,
2. granica g jest równa wartości f(x0)



Ciągłość funkcji y = f(x) dla każdego x0 ∈ Df badamy: 1. Obliczając:
f(x0)
i
lim f(x)
x⇢x0


2. Sprawdzając czy:
lim f(x) = f(x0)
x⇢x0
FUNKCJA CIĄGŁA W PRZEDZIALE ∙ Funkcję f nazywamy ciągłą w przedziale (a; b), jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

∙ Funkcja f jest ciągła w przedziale <a; b> wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w przedziale (a; b) oraz
lim f(x) = f(a)
a ⇢ x+

i
lim f(x) = f(b)
b ⇢ x-
Twierdzenia o funkcjach ciągłych

Twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej


Funkcja odwrotna do funkcji f ciągłej i rosnącej ( malejącej ) w przedziale X jest ciągła i rosnąca (malejąca ) w przedziale Y = f(x)

...............................................

Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na funkcjach ciągłych


Jeśli funkcje f i g określone na przedziale X ⊂ R są ciągłe w punkcie x0 ∈ X, to funkcje:
f + g
f - g
f ∙ g
f / g
są ciągłe w punkcie x0.

Funkcja, która jest złożeniem funkcji ciągłych, jest funkcją ciągłą w swojej dziedzinie.

Jeżeli funkcja f określona na pewnym otoczeniu punktu x0 jest w tym punkcie ciągła i f(x0) > 0, to istniej takie otoczenie punktu x0, że dla każdego x ∈ U zachodzi nierówność f(x) > 0.

...............................................

Twierdzenie Weierstrassa


Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale G = < a; b >, to jest w nim ograniczona i w pewnym punkcie tego przedziału przyjmuje wartość największą fMAX oraz w innym punkcie wartość najmniejszą fMIN.

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale < a; b >, to istnieją liczby g1 i g2 ∈ < a; b > takie, że:



...............................................

Twierdzenie Darboux'a


Funkcja f ciągła w przedziale < a; b > przyjmuje wszystkie wartosci pośrednie między wartością najmniejszą i największą tej funkcji w przedziale < a; b >.