MATEMATYKA - ALGEBRA
Działanie na liczbach i wyrażeniach



Podstawowe działania

WYRAŻENIE ALGEBRAICZNE


Wyrażeniem algebraicznym nazywamy liczbę, literę lub liczby, litery i liczby które połączone są znakami działań i nawiasami.


KOLEJNOŚĆ WYKONYWANIA DZIAŁAŃ


ºLitery, które występuję w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi. Jeżeli w wyrażeniu algebraicznym nie ma nawiasów, to wykonywanie działań jest następujące:
POTĘGOWANIE I PIERWIASTKOWANIE

MNOŻENIE I DZIELENIE

DODAWANIE I ODEJMOWANIE
ºW wyrażeniach z nawiasami, na początku wykonujemy działania w tych nawiasach, a później przechodzimy do działań poza nawiasami.

DZIAŁANIA


Dodawanie a + b = c

a, b - składniki
c - suma
º a + b = b + a → przemienność dodawania
º (a + b) + c = a + (b + c) → łączność dodawania
Odejmowanie a - b = c

a - odjemna
b - odjemnik
c - różnica
º a - b = a + (-b)
º a - b = c ⇔ a = b + c

º Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania
Mnożenie ab = c

a, b - czynniki
c - iloczyn
a • 1 = a, gdzie "1" jest naturalnym elementem mnożenia

º a • b = b • a → przemienność mnożenia
º (a • b • c = a • (b • c) → łączność mnożenia
º a • (b + c) = a • b + a • c → rozdzielność mnożenia względem dodawania
Dzielenie a : b = c

a - dzielna
b - dzielnik
c - iloraz
º a : b = a • 1/b gdzie b ≠ 0
º Jeżeli b ≠ 0, to : a : b = c ⇔ a = b • c

º Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia


PROPORCJA


a : b = c : d
Proporcją nazywamy równość dwóch stosunków ( ułamków ) przy założeniu że b ≠ 0 i d ≠ 0

º W powyższym przykładzie, iloczyn wyrazów skrajnych ( a i d ) jest równy iloczynowi wyrazów środkowych ( b i c ): a • d = b • c

º Opierając się ponownie na powyższym przykładzie można dojść do następujących wniosków:
Cechy podzielności liczb naturalnych
0 NIGDY NIE DZIELI SIĘ PRZEZ 0
1 liczba naturalna podzielna przez 1 zawsze daje tę samą liczbę naturalną
2 gdy jej ostatnią cyfrą jest: 0, 2, 4, 6, 8
3 gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3
4 gdy liczba, wyrażona dwiema ostatnimi cyframi jest podzielna przez 4
5 gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6 gdy dzieli się przez 2 lub 3
7 gdy różnica pomiędzy liczbą wyrażoną kolejnymi trzema ostatnimi cyframi danej liczby a liczbą wyrażoną pozostałymi cyframi tej liczby, dzieli się przez 7
8 gdy liczba, wyrażona trzema ostatnimi jej cyframi dzieli się przez 8
9 gdy suma jej cyfr dzieli się przez 9
10 gdy ostatnią cyfra jest 0
11 gdy różnica sumy jej cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych, dzieli się przez 11
Procent

Jeden procent ( 1 % ) pewnej liczby " a ", to setna część tej liczby, co następnie oznacza: 1%a ⇔ 1%a jest równy 1/100 • a

Jeżeli liczba "b" stanowi p% liczby "a", to oraz


Procent prosty
to sposób oprocentowania wkładu pieniężnego K, polegającego na tym, że np.: roczny dochód od złożonego wkładu w postaci odsetek Z, przy stopie procentowej p%, nie jest doliczany do wkładu na następny rok, czyli nie bierze udziału w oprocentowaniu w następnym roku.


Procent składany
to sposób oprocentiwania wkładu pieniężnego K, polegający na tym, że np.: roczny dochód w postaci odsetek jest doliczany do wkładu i procentuje wraz z nim w roku następnym:
Po "n" latach wkład Kn jest równy:
gdzie p - stopa procentowa

Umarzanie pożyczek długoterminowych


gdzie: r = p/100
K - wysokość pożyczki udzielonej na "n" lat
R - wysokość rocznej raty płatnej przez dłużnika z końcem każdego roku
niebieska część wzoru - czynnik umożeniowy
Wartość bezwzględna



Podstawowe własności:º |x| ≥ 0; º |x| = |-x|; º - |x| ≤ x ≤ |x|

º Jeżeli a > 0, to: |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a

º Jeżeli a ≥ 0, to: |x| ≥ a ⇔ ( x ≥ a lub x ≤ -a )

º|a + b| ≤ |a| + |b|

º|a - b| ≤ |a| + |b|

º|a • b| ≤ |a| • |b|

º|a / b| = |a / b| dla b ≠ 0

º||a| - |b|| ≤ |a + b| oraz ||a| - |b|| ≤ |a - b|

Potęga

DEFINICJA POTĘGI
an = b , gdzie:
an - n-potęga liczby "a"; n - wykładnik potęgi; a - podstawa potęgi; b - wynik potęgowania

PRZYKŁADY POTĘG
O wykładniku
naturalnym
a0 = 1 dla a ≠ 0
a1 = a dla a ∈ R
an + 1 = an ∙ a dla a ∈ R n ∈ N+
O wykładniku
całkowitym ujemnym
,
gdzie a ∈ R \ {0} ∧ n ∈ N+
,
gdzie a ∙ b ≠ 0
O wykładniku
całkowitym dodatnim
,
gdzie a ∈ R+ ∪ {0}, m ∈ N+, n ∈ N+ \ {1}
O wykładniku
wymiernym ujemnym
,
gdzie a a ∈ R+, m ∈ N+, n ∈ N+ \ {1}


DZIAŁANIA NA POTĘGACH
Jeżeli m, n ∈ R i a, b ∈ R+ lub m, n ∈ C i a ≠ 0 i b ≠ 0, to
Iloczyn potęg o tych samych podstawach am ∙ bn = am + n
Iloraz potęg o tych samych podstawach
Potęga iloczynu ( a ∙ b )m = am ∙ bm
Potęga ilorazu
Potęga potęgi ( am )n = am ∙ n
Pierwiastki

DEFINICJA PIERWIASTKA
n√a = b
gdzie: a - liczba podpierwiastkowa, b - pierwiastek n-tego stopnia, n - stopie pierwiastka
º Jeżli a ≥ 0, b ≥ 0 i n ∈ N \ {0,1} to: n√a = b ⇔ bn = a
º Jeżeli a < 0 i n = 2k + 1, gdzie k ∈ N+ to: n√a = - n√|a|

DZIAŁANIA NA PIERWIASTKACH
n√a ∙ b = n√a ∙ n√b ( n√a )m = n√am

gdzie: b > 0
mn√a = mn√a
a ∙ n√b = n√anb ( n√a )n = a

n√a n = |a| - gdy n jest liczbą naturalną parzystą lub
a - gdy n jest liczbą naturalną nieparzystą
Silnia, wzór Newtona

SILNIA
n! gdzie n ∈ N+

np:. 0! = 1;
1! = 1;
2! = 1 ∙ 2 = 2;
3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6;
4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24

( n + 1 )! = n! ( n + 1 )

SYMBOL NEWTONA -


np:.



WZÓR NEWTONA





np:.

( a ∓ b )0 = 1
( a ∓ b )1 = a ∓ b
( a ∓ b )2 = a2 ∓ 2ab + b2
( a ∓ b )3 = a3 ∓ 3a2b + 3ab2 ∓ b3
( a ∓ b )4 = a4 ∓ 4a3b + 6a2b2 ∓ 4ab3 + b4
( a ∓ b )5 = a5 ∓ 5a4b + 10a3b2 ∓ 10a2b3 + 5ab4 ∓ b5
...
Można także skorzystać z tzw. TRÓJKĄTA PASCALA:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
..................................
Wzory skróconego mnożenia

Kwadrat sumy ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Kwadrat różnicy ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
Różnica kwadratów a2 - b2 = ( a - b )( a + b )
Sześcian sumy ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Sześcian różnicy ( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Suma sześcianów a3 + b3 = ( a + b )( a2 - ab + b2 )
Różnica sześcianów a3 - b3 = ( a - b )( a2 + ab + b2 )
Kwadrat sumy trzech składników ( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2 bc
Własności liczb

WŁASNOŚCI RÓWNOŚCI LICZB
Jeżeli a, b, c ∈ R i a = b
º a + c = b + c
º a - c = b - c
º a ∙ c = b ∙ c
º a / c = b / c gdzie c ≠ 0

WŁASNOŚCI NIERÓWNOŚCI LICZB
Jeżeli a, b, c ∈ R i a < b
º a ∓ c < b ∓ c
º a ∙ c < b ∙ c gdy c > 0
º a ∙ c > b ∙ c gdy c < 0
º a / c < b / c gdy c > 0
º a / c > b / c gdy c < 0

ZAOKRĄGLENIE UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH
Zaokrąglić liczbę dziesiętną, to znaczy zastąpić zerami pewną liczbę jej cyfr końcowych, zgodnie z regułą:
Jeżeli pierwszą z odrzuconych liczb jest:
0, 1, 2, 3, 4, - to ostatnią z cyfr zachowanych pozostawiamy bez zmian;
5, 6, 7, 8, 9 - to ostatnią z zachowanych cyfr zwiększamy o 1, przy czym, jeśli ostatnią cyfrą jest 9, to zastępujemy ją zerem i zwiększamy o 1 poprzedzającą ją cyfrę np:.
524,42 ⇒ przybliżenie dziesiętne = 542,4
524,47 ⇒ przybliżenie dziesiętne = 542,5
524,424 ⇒ przybliżenie setne = 542,42
524,426 ⇒ przybliżenie setne = 542,43
524,4261 ⇒ przybliżenie tysięczne = 542,426
524,4269 ⇒ przybliżenie tysięczne = 542,427 542,4270
Przybliżenie liczb rzeczywistych

BŁĄD PRZYBLIŻENIA
º Jeśli liczba a jest przybliżeniem liczby a0, to błędem przybliżenia a liczby a0 jest liczba: b = a - a0
ºJeśli b < 0, to liczba a jest przybliżeniem z niedomiarem.
ºJeśli b > 0, to liczba a jest przybliżeniem z nadmiarem.

BŁĄD BEZWZGLĘDNY
∆ = |b| = |a - a0|

BŁĄD WZGLĘDNY


OCENA BŁĘDÓW PRZYBLIŻEŃ
Jeżeli a = a0 ∓ ∆0 i b = b0 ∓ ∆0 to błąd bezwzględny:

sumy ( a + b ) jest równy ∆ = |( a + b ) - ( a0 + b0 )| ≤ ∆a + ∆b
różnicy ( a - b ) jest równy ∆ = |( a - b ) - ( a0 - b0 )| ≤ ∆a + ∆b
iloczynu ( a ∙ b ) jest równy ∆ = |a ∙ b - a0 ∙ b0| ≤ |a| ∙ ∆b + |b| ∙ ∆a + ∆a ∙ ∆b
ilorazu a / b jest równy ∆ = |a / b - a0 / b0| ≤
dla b ≠ 0, b0 ≠ 0, |b| > ∆b
Działania arytmetyczne na liczbach rzeczywistych, często są zastępowane w rachunkach na przybliżeniach.
Wartości średnie

Średnia arytmetyczna ma dwóch liczb: a1, a2 ∈ R
n liczb a1, a2, ... an ∈ R
Średnia geometryczna mg dwóch liczb a1, a2 ∈ R+ ∪ {0}
n liczb a1, a2, ... an ∈ R+ ∪ {0}, n ∈ N \ {0,1}
Średnia harmoniczna mh dwóch liczb a1, a2 ∈ R+
dwóch liczb a1, a2, ... an ∈ R+
Średnia kwadratowa mk dwóch liczb a1, a2 ∈ R+
dwóch liczb a1, a2, ... ... an ∈ R+
Średnia arytmetyczna ważona
ma
dwóch liczb a1, a2 ∈ R, z wagami p1, p2∈ R+
dwóch liczb a1, a2, ... an ∈ R, z wagami p1, p2 ... pn ∈ R+
Średnia geometryczna ważona
mg
dwóch liczb a1, a2 ∈ R+ z wagami p1, p2 ∈ N \ {0,1}
dwóch liczb a1, a2, ... an ∈ R+ z wagami p1, p2, ... pn ∈ N \ {0,1}
Średnia harmoniczna ważona
mh
dwóch liczb a1, a2 ∈ R+, z wagami p1, p2 ∈ R+
dwóch liczb a1, a2, ... an ∈ R+, z wagami p1, p2, ... pn ∈ R+


ZALEŻNOŚCI MIĘDZY ŚREDNIMI
Jeżeli mk, ma, mg, mh są odpowiednimi średnimi liczb a1, a2, ... , an ∈ R+, to mk ≥ ma ≥ mg ≥ mh.
Równość mk = ma = mg = mh zachodzi ⇔ a1 = a2 = ... = an.