MATEMATYKA - ALGEBRA
Zbiory


POJĘCIA

   Zbiór oraz element zbioru zaliczamy do pojęć pierwotnych i ich nie definiujemy.

    A, B, C ... - symbole zbirów;
    a, b, c, ... - symbole elementów zbioru;
    - symbol przynależności do zbioru.


Przykłady zbiorów
Zbiór pusty, Ø - zbiór, do którego nie należy żaden element, nazywamy zbiorem pustym.
Zbiór skończony - zbiór jest skończony, gdy istnieje taka liczba naturalna n, że ten zbiór ma n elementów.
Zbiór nieskończony - zbiór, który nie jest skończony, nazywamy zbiorem nieskończonym.
Zbiór liczbowy ograniczony - zbiór liczbowy A nazywamy ograniczonym z góry (z dołu), wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba x, że każdy element a należący do zbioru A spełnia warunek: a ≤ x ( a ≥ x );
Zbiór A nazywamy ograniczonym, gdy jest ograniczony z dołu i góry.


DZIAŁANIA NA ZBIORACH

Działanie Ilustracja graficzna Zapis definicji Właściwości
Suma zbiorów

[ x ∈ ( A ∪ B )] ⇔ [ ( x ∈ A) v ( x ∈ B)]
LUB
A ∪ B = { x: x ∈ A v x ∈ B }
A ∪ A = A

A ∪ Ø = A
Iloczyn zbiorów

[ x ∈ ( A ∩ B )] ⇔ [ ( x ∈ A) ∧ ( x ∈ B)]
LUB
A ∩ B = { x: x ∈ A ∧ x ∈ B }
A ∩ A = A

A ∩ Ø = A
Różnica zbiorów

\

[ x ∈ ( A \ B )] ⇔ [ ( x ∈ A) ∧ ( x B)]
LUB
A ∩ B = { x: x ∈ A ∧ x B }
A \ A = Ø

A \ Ø = A
Dopełnienie zbioru do przestrzeni Ω

'

( x ∈ A' ) ⇔ [ ( x ∈ Ω ) ∧ ( x A)]
LUB
A' = { x: x ∈ Ω ∧ x A }
A ∪ A' = Ω

A ∩ A' = Ø


RELACJE MIĘDZY ZBIORAMI

Równość zbiorów Zbiory A i B nazywamy równymi ( A = B ) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i na odwrót.
Zawieranie się zbiorów Zbiór A zawiera się w zbiorze B ( A ⊂ B ) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B.
Zbiory rozłączne Zbiory, których iloczyn jest zbiorem pustym, nazywamy rozłącznymi.
Iloczyn kartezjański zbiorów X x Y = {(x,y): x ∈ X ∧ y ∈ Y}
Zbiór X x Y nazywany jest iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y.
X x X = X2


PRAWA RACHUNKU ZBIORÓW

Przemienność sumy zbiorów A ∪ B = B ∪ A
Przemienność iloczynu zbiorów A ∩ B = B ∩ A
Łączność sumy zbiorów ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )
Łączność iloczynu zbiorów ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
Prawa de Morgana zbiorów ( A ∩ B )' = A' ∪ B'
( A' ∪ B' ) = A' ∩ B'
Rozdzielność iloczynu względem sumy zbiorów A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
Rozdzielność sumy względem iloczynu zbiorów A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )
Prawa rozdzielności A ∪ ( A ∩ B ) = A
A ∩ ( A ∪ B ) = A