MATEMATYKA - ALGEBRA
Logika arytmetyczna


RACHUNEK ZDAŃ

   Zdaniem w sensie logicznym nazywamy stwierdzenie, któremu można przyporządkować jedną z dwóch wartości logicznych: prawda (wartość logiczna 1) oraz fałsz (wartość logiczna 0).
   Funktory zdaniotwórcze to zwroty:

nieprawda, że (), i (), lub (), jeżeli, to (), wtedy i tylko wtedy, gdy (), albo (v)

Negacja zdania: ∼ p - nieprawda, że p
Koniunkcja zdań: p∧q - p i q
Alternatywa zdań: p v q - p lub q
Implikacja: p⇒q - jeżeli p to q
Równoważność zdań: p⇔q - p wtedy i tylko wtedy, gdy q
Alternatywa wykluczająca zdań: pvq - p albo q


TABELE WARTOŚCI LOGICZNYCH ZDAŃ







PRAWA RACHUNKU ZDAŃ

Prawo podwójnego przeczenia ∼(∼ p)⇔ p
Prawo łączności koniunkcji ( p ∧ q )∧ r ⇔ p ∧ ( q ∧ r )
Prawo łączności alternatywy ( p ∨ q ) ∨ r ⇔ p ∨ ( q ∨ r )
Prawo zaprzeczenia implikacji ∼ ( p ⇒ q ) ⇔ [ p ∧( ∼ q )]
Prawo zaprzeczenia koniunkcji ( Prawo de Morgana ) ∼ ( p ∧ q ) ⇔ [ ∼ p ∨ ( ∼ q )]
Prawo zaprzeczenia alternatywy ( Prawo de Morgana ) ∼ ( p ∨ q ) ⇔ [ ∼ p ∧ ( ∼ q )]
Prawo przechodności implikacji [( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ r )] ⇒ ( p ⇒ r )


FUNKCJA ZDANIOWA

   Funkcja zdaniowa z jedną zmienną określona na dziedzinie D, jest to takie wyrażenie zawierające tę zmienną, które staje się zdaniem, gdy w miejsce zmiennej podstawimy nazwę dowolnego elementu zbioru D.
   Element dziedziny funkcji zdaniowej spełnia tę funkcję wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu go do tej funkcji zdaniowej w miejsce zmiennej otrzymamy zdanie prawdziwe.

p(x), q(x), f(x) - symbole funkcji zdaniowych ze zmienną "x"


KWANTYFIKATORY I PRAWO DE MORGANA


x
kwantyfikator ogólny (duży) - czytamy: dla każdego x ...


x
kwantyfikator szczegółowy (mały) - czytamy: istnieje takie x, że ...

PRAWO DE MORGANA

- gdzie p(x) jest formą zdaniową zmiennej x określoną na pewnej dziedzinie.

Twierdzenie

Zdanie udowodnione w danej teorii matematycznej nazywamy twierdzeniem tej teorii

WŁASNOŚCI TWIERDZEŃ



* Twierdzenia przeciwne są równoważne.
* Twierdzenia przeciwne tworzą tzw. zamknęty układ twierdzeń.

*Jeżeli prawdziwa jest inplikacja Z ⇒ T, to T jest warunkiem koniecznym dla Z, a Z jest wystarczającym warunkiem dla T.
* Jeżeli prawdziwa jest równoważność Z ⇔ T, to Z jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla T (oraz odwrotnie).


ZASADA INDUKCJI MATEMATYCZNEJ

  Jeżeli:
  1 Zdanie, w którym jest mowa o liczbach naturalnych, jest prawdziwe dla określonej liczby naturalnej k.
  2 Dla każdej liczby naturalnej n ( n ≥ k ) z założenia, że to zdanie jest prawdziwe dla n, wynika, że jest ono prawdziwe dla liczby następnej n + 1.
to zdanie to jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej nie mniejszej niż k.