MATEMATYKA - ALGEBRA
Funkcje trygonometryczne



Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym



Sinusem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości przeciwprostokątnej.
sinα = a / c

Cosinusem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
cosα = b / c

Tangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości drugiej przyprostokątnej.
tgα = a / b

Cotangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej.
ctgα = b / a

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta



Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej

Sinusem liczby x ∈ R nazywamy sinus kąta, dla którego x jest miarą łukową.
W podobny sposób określamy pozostałe funkcje.



Funkcja Dziedzina Df Przeciwdziedzina Df-1 Okres
f(x) = sinx R < - 1; 1 >
f(x) = cosx R < - 1; 1 >
f(x) = tgx R \ {Π/2 + kΠ}
gdzie k ∈ C
R Π
f(x) = ctgx R \ {k ∙ Π}
gdzie k ∈ C
R Π
Wykresy funkcji trygonometrycznych









Związki między funkcjami trygonometrcznymi

sin2α + cos2α = 1 (jedynka trygonometryczna)

tgα = sinα / cosα = 1 / ctgα gdy cosα i sinα ≠ 0

ctgα = cosα / sinα = 1 / tgα gdy cosα i sinα ≠ 0

tgα ∙ ctgα = 1 gdy cosα i sinα ≠ 0

FUNKCJE PODWOJONEGO KĄTA

sin2α = 2sinαcosα

cos2α = cos2α - sin2α = 1 - 2sin2α = 2 cos2α - 1

gdy cosα i cos2α ≠ 0

gdy sinα i sin2α ≠ 0

FUNKCJE POTROJONEGO KĄTA

sin3α = sinα(3cos2α - sin2α) = sinα(3 - 4sin2α)

cos3α = cosα(cos2α - 3sin2α) = cosα(4cos2α - 3)

gdy cosα i cos3α ≠ 0

gdy sinα i sin3α ≠ 0

FUNKCJE POŁOWY KĄTA





UWAGA !!!

+ lub - wybieramy zależnie od tego, do której ćwiartki należy ramię końcowe kąta α / 2

gdy sinα ≠ 0

gdy sinα ≠ 0

FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE SUMY I RÓŻNICY KĄTÓW

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ

cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ

sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ

cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ

gdy cosα ∙ cosβ oraz cos(α + β) ≠ 0

gdy sinα ∙ sinβ oraz sin(α + β) ≠ 0

gdy cosα ∙ cosβ oraz cos(α - β) ≠ 0

gdy sinα ∙ sinβ oraz sin(α - β) ≠ 0

SUMA I RÓŻNICA FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH









gdy cosα ∙ cosβ ≠ 0

gdy sinα ∙ sinβ ≠ 0

gdy cosα ∙ cosβ ≠ 0

gdy sinα ∙ sinβ ≠ 0

POZOSTAŁE ZALEŻNOŚCI

sin2α - sin2β = sin(α + β)sin(α - β)

cos2α - sin2β = cos(α + β)cos(α - β)

cos2α - cos2β = sin(α + β)sin(β - α)

sinα + cosα = √2 sin(450 + α) = √2 cos(450 - α)

cosα - sinα = √2 cos(450 + α) = √2 sin(450 - α)

cosαcosβ = 1/2 [cos(α + β) + cos(α - β)]

sinαsinβ = 1/2 [cos(α - β) - cos(α + β)]

sinαcosβ = 1/2 [sin(α + β) + cos(α - β)]

Dla każdego kąta α, dla którego istnieje tgα, tgα/2 i ctgα/2 prawdziwe są związki:









Parzystość, nieparzystość, okresowość funkcji trygonometrycznych

Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych

sin( - x) = - sinx
cos( - x) = cosx
tg( - x) = - tgx
ctg( - x) = -ctgx


Okresowość funkcji trygonometrycznych

Gdy k ∈ C, to:
sin(x + 2kΠ) = sinx
cos(x + 2kΠ) = cosx
tg( x + kΠ) = tgx
ctg( x + kΠ) = ctgx
Tabela zmienności i znaków funkcji trygonometrycznych

TABELA ZMIENNOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH



TABELA ZNAKÓW FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH W ĆWIARTKACH

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych dla miar kątów

Wzory redukcyjne