MATEMATYKA - ALGEBRA
Logarytm
Funkcja logarytmiczna



logab = c
gdzie:
a - podstawa logarytmu
b - liczba logarytmowana
c - logarytm z liczby b przy podstawie a

Logarytm

Jeżeli a ∈ R+ \ {1} i b ∈ R+, to:
logab = c ⇔ ac = b
loga1 = 0
logaa = 1
alogab = b

Logarytm dziesiętny, to logarytm o podstawie 10.
logb = c ⇔ 10c = b
Logarytm naturalny, to logarytm o podstawie e.
lnb = c ⇔ ec = b
Działania na logarytmach

Logarytm iloczynu
loga(b1 ∙ b2) = logab1 + logab2
gdy b1, b2 ∈ R+ i a ∈ R+ \ {1}

Logarytm ilorazu
loga(b1 / b2) = logab1 - logab2
gdy b1, b2 ∈ R+ i a ∈ R+ \ {1}

Logarytm potęgi
logabm = m ∙ logab
gdy b ∈ R+ i a ∈ R+ \ {1} i m ∈ R

Logarytm pierwiastka
logan√b = 1/n logab
gdy b ∈ R+ i a ∈ R+ \ {1} i n ∈ N \ {0, 1}

Zmiana podstawy logarytmu
logab = logcb / logca
gdy b ∈ R+ i a, c ∈ R+ \ {1}
logab = 1 / logba
gdy a,b ∈ R+ \ {1}

Funkcja logarytmiczna

Funkcję f(x) = logax gdzie a ∈ R+ \ {1} nazywamy
funkcją logarytmiczną






Wykres funkcji logarytmicznej nazywamy krzywą logarytmiczną
Jeżeli a > 1, to funkcja logarytmiczna y = logax jest rosnąca w całej dziedzinie, a jeżeli a ∈ (0; 1) to funkcja ta jest malejąca w swojej dziedzinie.
Jeżeli a ∈ R+ \ {1} to funkcja logarytmiczna f(x) = logax jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniuczej g(x) = ax
Funkcja logarytmiczna jest ciągła, która dla x1, x2 ∈ R+ spełnia warunek:
f(x1 ∙ x2) = f(x1) ∙ f(x2)
(loga(x1x2) = logax1 + logax2)
Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa

Równania i nierówności logarytmiczne

Jedynym rozwiązaniem równania
logax = b
gdzie a ∈ R+ \ {1} i b ∈ R jest liczba
x = ab

Równanie Założenie Rozwiązanie
logxa = b x ∈ R+ \ {1}
a ∈ R+
b ∈ R+ \ {0}
Z definicji logarytmu
xb = a ⇔ x = a1/b
logx1 = 0 x ∈ R+ \ {1} x ∈ R+ \ {1}
logf(x)a = b f - dowolna funkcja róąna od stałej
x ∈ R
f(x) > 0
f(x) ≠ 1
a ∈ R+ \ {1}
b ∈ R+ \ {0}
f(x) = a1/b
logf(x)1 = 0 f - dowolna funkcja róąna od stałej
x ∈ R
f(x) > 0
f(x) ≠ 1
x ∈ Df
logaf(x) = b f - dowolna funkcja róąna od stałej
x ∈ R
f(x) > 0
a ∈ R+ \ {1}
b ∈ R
f(x) = ab
blogaf(x) + clogag(x) = d f - dowolna funkcja róąna od stałej
x ∈ R
f(x) > 0 i g(x) > 0
a ∈ R+ \ {1}
b, c, d ∈ R
Należy skorzystać z własności logarytmu i doprowadzić równanie do postaci
[f(x)]b ∙ [g(x)]c = ad
f(logax) = 0 f - dowolna funkcja róąna od stałej
x ∈ R+
a ∈ R+ \ {1}
Zastosować należy podstawienie
logax = t
i rozwiązać równanie
f(t) = 0
logax = f(x) f - dowolna funkcja róąna od stałej
x ∈ R+
a ∈ R+ \ {1}
Zastosowanie znajduje tutaj metoda graficzna


Jeżeli f(x) > 0 i g(x) > 0 i a ∈ R+ \ {1} to:
logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x)