MATEMATYKA - ALGEBRA
Funkcja wymierna, homograficzna, potęgowa, wykładnicza



Funkcja wymierna

Funkcję

gdzie W(x) i G(x) są wielomianami i G(x) ≢ 0, nazywamy
funkcją wymierną

( D = {x: G(x) ≠ 0}).

UŁAMKI PROSTE

Funkcje wymierne w postaci:
lub
gdzie: A, a, B, C, p, q ∈ R i p2 - 4q < 0 i k, m ∈ N nazywamy
ułamkami porostymi
Funkcja homograficzna

Funkcję wymierną w postaci:

gdy ad ≠ bc i c ≠ 0
nazywamy
funkcją homograficzną


Wykresem tej funkcji jest hiperbola.





y = a/c - równanie asymptoty poziomej
x = - d/c - równanie asymptoty pionowej

RÓWNANIE WYMIERNE

Równaniem wymiernym
nazywamy równanie w postaci:

gdzie W(x) i G(x) są wielomianami i G(x) ≢ 0.

NIERÓWNOŚĆ WYMIERNA

Nierówność w postaci:

gdzie W(x) i G(x) są wielomianami i G(x) ≢ 0 nazywamy
nierównością wymierną


Szukając rozwiązania nierówności wymiernej, posługujemy się następującymi wzorami:

W(x)/G(x) > 0 ⇔ (W(x) ∙ G(x) > 0 ∧ G(x) ≠ 0)
W(x)/G(x) ≥ 0 ⇔ (W(x) ∙ G(x) ≥ 0 ∧ G(x) ≠ 0)
W(x)/G(x) ≤ 0 ⇔ (W(x) ∙ G(x) ≤ 0 ∧ G(x) ≠ 0)
W(x)/G(x) < 0 ⇔ (W(x) ∙ G(x) < 0 ∧ G(x) ≠ 0)

Funkcja potęgowa

Funkcję f(x) = xn nazywamy
funkcją potęgową

Dziedzina funkcji potęgowej zależy od wykładnika n i dla n ∈ N funkcja ta jest wielomianem.



Funkcje f(x) = x1/n oraz g(x) = n√x są równe ponieważ mają te same dziedziny
( Df = Dg = R+ ∪ {0} )


Przy założeniu że: n = 2k - 1 dla k ∈ N+ \ {1}
funkcje f(x) = x1/n oraz g(x) = n√x są różne ponieważ mają różne dziedziny.
( Df = R+ ∪ {0} i Dg = R )
Funkcja wykładnicza

Funkcję f(x) = ax nazywamy
funkcją wykładniczą

Dziedzina funkcji wykładniczej to a ∈ R+ \ {1}





Wykres funkcji wykładniczej nazywamy krzywą wykładniczą
Jeżeli a > 1 to funkcja wykładnicza y = ax jest rosnąca, a jeżeli a ∈ (0; 1) to funkcja jest malejąca
Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa
Funkcja wykładnicza f(x) = ax ( a ∈ R \ {1} ) jest funkcją ciągłą spełniającą warunek
f(x1 + x2) = f(x1) ∙ f(x2) dla x1, x2 ∈ R


POTĘGA W RÓWNANIACH I NIERÓWNOŚCIACH

Jedynym rozwiązaniem równania ax = b
gdzie a ∈ R+ \ {1} i b ∈ R+
jest liczba x = logab

Równanie Założenie Rozwiązanie
af(x) = b f - dowolna funkcja różna od stałej
a ∈ R+ \ {1} i b ∈ R+
f(x) = logab
f(ax) = 0 f - dowolna funkcja różna od stałej
a ∈ R+ \ {1}
Podstawić ax = t i znaleźć dodatnie pierwistki równania f(t) = 0
af(x) = bg(x) f, g - dowolne funkcje różne od stałej
a, b ∈ R+ \ {1}
Korzystając z zależności b = alogab sprowadzić równanie do postaci af(x) = ag(x)logab
ax = f(x) f - dowolna funkcja różna od stałej
a ∈ R+ \ {1}
Rozwiązanie metodą graficzną


Jeżeli a ∈ R+ \ {1} to:
ab = ac ⇔ b = c
af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x)