MATEMATYKA - ALGEBRA
Układy równań



Jeżeli W(x,y) i P(x,y) są wielomianami odpowiednio stopnia n - tgo i k - tego dwóch zmiennych, to układ równań w postaci:

nazywamy
układem n - tego stopnia dwóch niewiadomych x i y


Najczęściej stosowanymi rozwiązaniami układów równań są:
metoda podstawiania
metoda zmiennych pomocniczych
metoda graficzna

Układ równań z dwiema niewiadomymi, gdzie jedno równanie jest stopnia pierwszego a drugie drugiego

Jeśli
f(x,y) = ax + bx + c i
g(x,y) = Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F
gdzie a, b, c oraz A, B, C, D, E, F oznaczają współczynniki i a2 + b2 > 0 oraz A2 + B2 + C2 > 0, to układ w postaci

nazywamy układem równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi (pierwsze równanie pierwszego stopnia a drugie stopnia drugiego).

Jeżeli wykresem równania f(x,y) = 0 jest prosta, a wykresem g(x,y) = 0 jest krzywa (parabola, okrąg, hiperbola) to rozwiązniem układu równań może być: 1 punkt, 2 punkty lub zbiór pusty.


Układ dwóch równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Jeśli
f(x,y) = A1x2 + B1xy + C1y2 + D1x + E1y + F1 i
g(x,y) = A2x2 + B2xy + C2y2 + D2x + E2y + F2
gdzie A1, A2, B1, B2, C1, C2 ∈ R oraz A12 + B12 + C12 >0 i A22 + B22 + C22 > 0 to układ w postaci

nazywamy układem dwóch równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układ dwóch równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi może mieć: 1 rozwiązanie, 2 rozwiązania, 3 rozwiązania, 4 rozwiązania, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć żadnego rozwiązania.

Obrazem graficznym zbioru rozwiązań układu są:













Nierówność stopnia drugiego z dwiema niewiadomymi

Nierówności f(x,y) < 0, f(x,y) ≤ 0, f(x,y) ≥ 0, f(x,y) > 0 gdzie f(x,y) jest wielomianem drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy
nierównościami drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi


Rozwiązaniem nierówności drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi jest para liczb, dla których dana nierówność staje się zdaniem prawdziwym.

Obrazem graficznym zbioru rozwiązań nierówności drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi jest zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają daną nierówność.

Rozwiązaniami nierówności x2 + y2 ≤ r2 są pary liczb (x,y), które są współrzędnymi punktów należących do koła k(0,r).
Obrazem graficznym zbioru rozwiązań nierówności x2 + y2 ≤ r2 jest koło o k(0,r).
Obrazem graficznym zbioru rozwiązań nierówności x2 + y2 r2 < 0 jest wnętrze koła k(0,r).
Obrazem graficznym zbioru rozwiązań nierówności y ≤ ax2 + bx + c jest zbiór punktów płaszczyzny leżących na parabolo y = ax2 + bx + c i poniżej niej.