MATEMATYKA - ALGEBRA
Równania i nierówności algebraiczne



Równanie algebraiczne

Równaniem algebraicznym stponia n nazywamy równanie w postaci:

anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0
gdzie an ≠ 0 i x ∈ R.

PIERWIASTEK ALGEBRAICZNY

Pierwistkiem algebraicznym n - stopnia z liczby a nazywamy każde rozwiązanie rzeczywiste równania:
xn = a
gdzie: n ∈ N \ {0, 1} i a ∈ R.

Jeśli n jest liczbą naturalną parzystą i a ≥ 0, to równanie xn = a ma dwa rozwiązania:
x = n√a lub x = - n√a.

Jeśli n jest liczbą naturalną parzystą i a < 0, to równanie xn = a ma jedno rozwiązania:
x = - n√|a|.

Sposoby rozwiązywanie równań wyższych stopni


Postać równania Metoda rozwiązania
Równanie dające się sprawdzić dla równania kwadratowego ax2n + bxn + c = 0 Przez wprowadzenie zmiennej pomocniczj
xn = t
(gdzie t ≥ 0 i n ∈ N parzystych)
Równanie zwrotne 4 - go stopnia x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 Przez wprowadzenie zmiennej pomocniczej
t = x + 1/x
Równanie algebraiczne n - go stopnia anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 Jeżeli wielomian
W(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 rozkłada się na czynniki
an(x - x1)(x - x2) ∙ ... ∙ (x - xn), (an ≠ 0),
to równanie W(x) = 0 jest równoważne do roziązań równania:
x - x1 = 0 v x - x2 = 0 v x - x3 = 0 v ... v x - xn = 0


Każdą nierówność (gdzie f i g są wielomianami):
f(x) > g(x)

f(x) < g(x)

f(x) ≤ g(x)

f(x) ≥ g(x)
nazywamy nierównościa algebraiczną.

Rozwiązanie nierówności algebraicznych przy założeniu, że
W(x) = (x - x1)(x - x2)(x- x3)...(x - xk)

Metoda algebraiczba Metoda siatki znaków Metoda graficzna
Znajdujemy rozwiązanie wykorzystując własności iloczynu.
Znak iloczynu zależy od znaków jego czynników
- porządkujemy miejsca zerowe x1, x2, x3, ... xkwielomianu W(x)
- jeśli x1 < x2 < x3 < ... < xk to tworzymy przedziały (- ∞; x1), (x1; x2), (x2; x3), ... (xk-1; xk), (xk; ∞)
- określamy znaki czynników w poszczególnych przedziałch, by następnie ustalić znak wielomianu W(x) w tych przedziałach
Rysujemy w jednym układzie współrzędnych wykresy każdego z czynników liniowych wielomianu, traktując je jako funkcje i określamy znak wielomianu w poszczególnych przedziałach
Obraz graficzny równań

Obrazem graficznym zbioru rozwiązań równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi mogą być: