MATEMATYKA - ALGEBRA
Wielomiany



Wielomianem jednej zmiennej x ∈ R nazywamy funkcję określoną wzorem:

W(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
gdzie n ∈ N, a ∈ R i a ≠ 0.
n - sopień wielomianu
a - współczynniki wielomianu
a0 - wyraz wolny

WIELOMIAN ZEROWY

Wielomian zerowy nie ma określonego stopnia W(x) = 0.

RÓWNOŚĆ WIELOMIANÓW

Przy założeniu, że wielomiany W(x) i Q(x) są równe ( W(x) = Q(x) ) ⇔ dla każdego m ∈ R W(m) = Q(m)
Współczynniki i stopnie wielomianów równych są sobie równe.

PODZIELNOŚĆ WIELOMIANÓW

Wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x) ≢ 0 wtedy i tylko wtedy gdy isnieje wielomian Q(x), taki, że: W(x) = P(x) ∙ Q(x).
Jeżeli W(x) i P(x) są wielomianami oraz P(x) ≢ 0, to istnieją takie dwa jednoznacznie wyznaczone wielomiany Q(x) i R(x) że W(x) = Q(x) ∙ P(x) + R(x), przy czym wielomian R(x) ≡ 0 albo stopień wielomianu R(x) jest mniejszy niż stopień wielomianu P(x).

Każdą liczbę r, dla której W(r) = 0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu W(x) (miejscem zerowym W(x)).
Wielomian stopnia n ma co najwyżej n - pierwistków.
Wielomian nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwistek.

TWIERDZENIE BĔZOUTA

Liczba r jest pierwistkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x - r.
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x - a ( gdzie a ∈ R ), jest równa W(a).

TWIERDZENIE O PIERWIASTKACH WIELOMIANU

Jeżeli liczba całkowita r ≠ 0 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) o współczynnikach całkowitych, to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego a0.
Jeżeli ułamek nieskracalny p/q (p, q ∈ C \ {0}) jest pierwiastkiem wielomianu W(x) o współczynnikach całkowitych, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0 a q jest dzielnikiem współczynnika an.

TWIERDZENIE O ROZKŁADZIE WIELOMIANU

Jeżeli liczby x1, x2, x3, ... xn są pierwistkami wielomianu W(x) stopnia n, to:
W(x) = an(x - x1)(x - x2)(x - x3)∙ ... ∙ (x - xn)
Każdy wielomian W(x) ≢ 0 jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej drugiego.

PIERWIASTEK WIELOKROTNY WIELOMIANU

Liczbę r nazywamy k - krotnym pierwistkiem wielomianu W(x) stopnia n ( k, n ∈ N i k ≤ n ) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez ( x - r )k i nie jest podzielny przez ( x - r )k+1.
Liczba r jest k - krotnym pierwiastkiem wielomianu W(x), wtedy i tylko wtedy, gdy:
W(r) = W'(r) = ... = W(k-1)(r) ≠ 0
gdzie Wk - jest pochodną wielomianu W(x)