MATEMATYKA - ALGEBRA
Funkcja kwadratowa
Równanie kwadratowe
Nierówność kwadratowa



Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję f określoną wzorem: f(x) = ax2 + bx + c, przy założeniu że a ≠ 0, gdzie:
a, b, c - współczynniki liczbowe funkcji kwadratowej
∆ = b2 - 4ac - wyróżnik funkcji kwadratowej.

Miejsce zerowe i wykres funkcji kwadratowej

MIEJSCE ZEROWE FUNKCJI KWADRATOWEJ

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + bx + c zależy od wyróznika
∆ = b2 - 4ac.

gdy ∆ < 0

nie ma miejsc zerowych


gdy ∆ = 0

jedno miejsce zerowe:

gdy ∆ > 0

dwa miejsca zerowe: i



POSTAĆ TRÓJMIANU KWADRATOWEGO

POSTAĆ OGÓLNA

y = ax2 + bx + c gdy a ≠ 0

POSTAĆ KANONICZNA


lub
y = a( x - p )2 + p
gdzie:
p = i q =

POSTAĆ ILOCZYNOWA

gdy ∆ < 0

nie ma postaci iloczynowej

gdy ∆ = 0

y = a( x - x0 )2

gdy ∆ > 0

y = a( x - x1 )( x - x2 )

WYKRESY FUNKCJI KWADRATOWEJ













gdzie W - wierzchołek paraboli o współrzędnych: ( , ).

Pierwiastki równania kwadratowego

Równanie w postaci ax2 + bx + c = 0 gdzie a ≠ 0 i a, b, c ∈ R, nazywamy równaniem kwadratowym.

Jeżeli a ∙ b ∙ c ≠ 0 to równanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0 nazywamy zupełnym.

Jeżeli a ≠ 0 i ( b = 0 lub c = 0 )to równanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0 nazywamy niezupełnym.


RÓWNANIE ZUPEŁNE

Założenia ∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0
Pierwiastki
x1 = x2 nie ma pierwiastków
Zbiór rozwiązań {,} {}


RÓWNANIE NIEZUPEŁNE

Postać równania ax2 = 0 ax2 + c = 0 ax2 + bx = 0
Pierwiastki x = 0 gdy: a ∙ c < 0
x1 =
x2 =

gdy: a ∙ c > 0
nie ma pierwiastków
x1 = 0
x2 = (-b / a)
Zbiór rozwiązań { 0 } { , }

lub
{ 0; -b/a }
Wzory Viet'a

Gdy pomiędzy pierwiastkami x1 i x2 równania kwadratowego a jego współczynnikami liczbowymi zachodzą związki:
x1 + x2 = - b / a
oraz
x1 ∙ x2 = c / a
nazywamy wzorami Viete'a.
Nierówność kwadratowa z jedną niewiadomą

Jeżeli a ≠ 0, to każda nierówność:

ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ≤ 0

nazywamy nierównością kwadratową z jedną niewiadomą.