MATEMATYKA - ALGEBRA
Równania i nierówności z jedną niewiadomą oraz układy równań.



Równanie i nierówność pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

Równaniem liniowym z jedną niewiadomą x nazywamy równanie w postaci:

ax + b = 0
gdzie a,b ∈ R

a - współczynnik przy niewiadomej;
b - wyraz wolny;
x - niewiadoma.

Warunki a ≠ 0 a = 0 i b = 0 a = 0 i b ≠ 0
Równanie ax + b = 0 0 ∙ x + 0 = 0 0 ∙ x + b = 0
Rozwiązanie x = ( - b/a ) każda liczba rzeczywista brak rozwiązanie
Zbiór rozwiązań {-b/a}
równanie oznaczone
R
równanie tożsamościowe

równanie sprzeczne


Nierównością liniową z jedną niewiadomą x nazywamy każdą z nierówności:

ax + b > 0
ax + b ≥ 0
ax + b < 0
ax + b ≤ 0
gdzie a,b ∈ R



Nierówność pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Nierówności

ax + by + c > 0
ax + by + c ≥ 0
ax + by + c < 0
ax + by +c ≤ 0

gdzie a2 + b2 ≠ 0
nazywamy nierównościami pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Para ( x0; y0 ) spełnia nierówność wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu do tej nierówności x0 za x oraz y0 za y, otrzymamy zdanie prawdziwe.

Obrazem graficznym zbioru rozwiązań powyższych nierówności jest półpłaszczyzna, o krawędzi określonej równaniem ax + by +c = 0.









Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Równanie ax + by + c = 0, gdzie a, b, c ∈ R i a2 + b2 ≠ 0, nazywamy równaniem liniowym ( pierwszego stopnia ) z dwiema niewiadomymi.

Para ( x0; y0 ) spełnia równość wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu do tej nierówności x0 za x oraz y0 za y, otrzymamy zdanie prawdziwe.

Obrazem graficznym równania jest prosta wyznaczona przez punkty

gdy a, b ≠ 0.

Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Układ równań

gdzie: a21 + b21 ≠ 0 i a22 + b22 nazywamy układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

METODY ROZWIĄZANIA UKŁADU RÓWNAŃ PIERWSZEGO STOPNIA Z DWIEMA NIEWIADOMYMI

METODA PODSTAWIANIA

Z jednego z równań wyznaczamy jedną niewiadomą w zależności od drugiej i otrzymaną zależność wstawiamy do drugiego równania.

METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZNNIKÓW

Mnożymy równania układu przez tak dobrane liczby, aby następnie po dodaniu pomnożonych równań stronami otrzymać równanie z jedną niewiadomą.

METODA GRAFICZNA

Rysujemy w jednym układzie współrzędnych wykresy każdego z równań ( proste ) i odczytujemy współrzędne punktów wspólnych obu prostych.

METODA WYZNACZNIKÓW

Polega na zastosowaniu wyznaczników.
Liczbę nazywa się wyznacznikiem głównym układu.
Jeśli W ≠ 0 to x = Wx / W i y = Wy / W ( tzw. wzory Cramera ) oraz


LICZBA ROZWIĄZAŃ UKŁADU RÓWNAŃ PIERWSZEGO STOPNIA

Warunki Przedstawienie graficzne Liczba rozwiązań układu
W ≠ 0 Jedno rozwiązanie

układ oznaczony
W = 0
Wx = 0
Wy = 0
Nieskończenie wiele rozwiązań

układ nieoznaczony
W = 0
i
Wx ≠ 0

lub

W = 0
i
Wy ≠ 0
Brak rozwiązania

układ sprzeczny