MATEMATYKA - ALGEBRA
Równania i nierówności z jedną niewiadomą



RÓWNANIE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ

Niech będą dane dwie funkcje f i g jednej zmiennej x o dziedzinach Df i Dg. Równaniem z jedną niewiadomą x nazywamy formę zdaniową w postaci f(x) = g(x), gdzie x ∈ Df ∩ Dg

Rozwiązaniem równania f(x) = g(x) nazywamy każdą liczbę x0 ∈ Df ∩ Dg, która spełnia to równanie.

Zbiór wszystkich rozwiązań równania f(x) = g(x) nazywamy zbiorem rozwiązań równania i może on być: skończony (równanie oznaczone), nieskończony (równanie tożsamościowe), pusty (równanie sprzeczne).

Równania nazywamy równoważnymi wtedy i tylko wtedy gdy mają ten sam zbiór rozwiązań i równe dziedziny.

WŁASNOŚCI RÓWNAŃ Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ

Jeżeli dane są funkcje: y= f(x) (x ∈ Df), y = g(x) (x ∈ Dg), y = h(x) (x ∈ Dh) oraz Df ∩ Dg ⊂ Dh, to równanie f(x) = g(x) dla x ∈ Df ∩ Dg ∩ Dh jest równoważne równaniu:

f(x) + h(x) = g(x) + h(x)
f(x) - h(x) = g(x) - h(x)
f(x) ∙ h(x) = g(x) ∙ h(x)
f(x) / h(x) = g(x) / h(x)

NIERÓWNOŚĆ Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ

Nierównością z jedną niewiadomą x nazywamy każdą formę zdaniową w postaci:

f(x) < g(x)
f(x) > g(x)
f(x) ≤ g(x)
f(x) ≥ g(x)

gdzie x ∈ Df ∩ Dg, oraz f i g są funkcjami jednej zmiennej o dziedzinach Df i Dg.

Rozwiązaniem nierówności z jedną niewiadomą nazywamy każdą liczbę x0 ∈ Df ∩ Dg, która spełnia tę nierówność.

Zbiór wszystkich rozwiązań nierówności nazywamy zbiorem rozwiązań nierówności.

Nierówności nazywamy równoważnymi wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam zbiór rozwiązań i równe dziedziny.

WŁAŚCIWOŚCI NIERÓWNOŚCI Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ

Jeżeli y= f(x) (x ∈ Df), y = g(x) (x ∈ Dg), oraz x ∈ Df ∩ Dg, to:

f(x) < g(x) ⇔ g(x) > f(x)
f(x) ≤ g(x) ⇔ g(x) ≥ f(x)
f(x) ≤ g(x) ⇔ g(x) = f(x) v f(x) < g(x)
f(x) ≥ g(x) ⇔ g(x) = f(x) v f(x) > g(x)