MATEMATYKA - ALGEBRA
Granica ciągu



GRANICA WŁAŚCIWA CIĄGU

Liczba g jest granicą ciągu nieskończonego (an), jeżeli do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy ciągu (an), co zapisujemy an ⇢ g.


Ciąg (an), który ma granicę właściwą nazywamy zbieżnym.

Ciągi które nie są zbieżne nazywamy rozbieżnymi.

GRANICA NIEWŁAŚCIWA CIĄGU

Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym co + ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M, co zapisujemy:


Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym co - ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M, co zapisujemy:



TWIERDZENIA O CIĄGACH ROZBIEŻNYCH

Ciąg stały, czyli ciąg, którego wszystkie wyrazy są równe pewnej liczbie a, jest zbieżny i liczba a jest jego granicą.



Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.

Jeżeli an = a i bn = b to:
(an ∓ bn) = a ∓ b
(an ∙ bn) = a ∙ b
(an / bn) = a / b


Jeżeli an = a i bn = b i prawie wszystkie wyrazy ciągów (an) i (bn) spałniają warunek an ≤ bn, to a ≤ b.

Jeżeli an = g i bn = g i jeśli (cn) jest ciągiem, którego prawie wszystkie wyrazy spełniają nierówność: an ≤ cn ≤ bn to cn = g (tzw. Twierdzenie o trzech ciągach).

TWIERDZENIA O ZBIEŻNOŚCI CIĄGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE O CIĄGU MONOTONICZNYM

Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry jest zbieżny.
każby ciąg nierosnący i ograniczony z doły jest zbieżny.

TWIERDZENIE BOLZANO - WEIERSTRASSA

Z każdego ciągu liczbowego ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny.

WARUNEK CAUCHY'EGO ZBIEŻNOŚCI CIĄGU

Ciąg (an) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy:


GRANICE NIEKTÓRYCH CIĄGÓW