MATEMATYKA - ALGEBRA
Ciągi



Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych dodatnich i oznaczamy symbolem an.

Ciągiem skończonym n - elementowym nazywamy funkcję określoną na zbiorze { 1, 2, 3, ..., n }i oznaczamy an.

Ciągiem liczbowym nazywamy ciąg którego wartości są liczbami rzeczywistymi.

Dla ciągu f: N+ ⇢ R wartość f(n) = an nazywamy n - tym wyrazem ciągu.

Monotoniczność ciągu

Ciąg an jest rosnący ⇔ dla każdego n ∈ N+

an+1 - an > 0
Ciąg an jest malejący ⇔ dla każdego n ∈ N+

an+1 - an < 0
Ciąg an jest stały ⇔ dla każdego n ∈ N+

an+1 - an = 0
Ciąg an jest niemalejący ⇔ dla każdego n ∈ N+

an+1 - an ≥ 0
Ciąg an jest nierosnący ⇔ dla każdego n ∈ N+

an+1 - an ≤ 0

Określając monotoniczność ciągu musimy określić: an+1 - an.
Ciąg arytmetyczny

Ciąg an nazywamy arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest co najmniej 3 - wyrazowy i którego każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby r, zwanej różnicą ciągu.



Skończony ciąg liczbowy ( a1, a2, a3, ..., an ) nazywamy ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest co najmniej 3 - wyrazowy i którego każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby r, zwanej różnicą ciągu.

Wzór na n - ty wyraz ciągu arytmetycznego an = a1 + ( n - 1 ) ∙ r
Suma n - początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
Wzór na sumę n - początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego


MONOTONICZNOŚĆ
ciąg rosnący: r > 0
ciąg malejący: r < 0
ciąg stały: r = 0
Ciąg geometryczny

Ciąg an nazywamy geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest co najmniej 3 - wyrazowy i którego każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje z pomnożenia wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q, zwaną ilorazem ciągu.



Skończony ciąg liczbowy ( a1, a2, a3, ..., an ) nazywamy ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest co najmniej 3 - wyrazowy i którego każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje z pomnożenia wyrazu poprzedniego przez stałą liczbą r, zwaną ilorazem ciągu.

Wzór na n - ty wyraz ciągu geometrycznego an = a1 ∙ qn-1 dla n ≥ 2
Suma n - początkowych wyrazów ciągu geometrycznego Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
Wzór na sumę n - początkowych wyrazów ciągu geometrycznego


MONOTONICZNOŚĆ
ciąg rosnący: q > 1 i a1 > 0
q ∈ (0; 1) i a1 < 0
ciąg malejący: q > 1 i a1 < 0
q ∈ (0; 1) i a1 > 0
ciąg stały: q = 1 i a1 = 0

ZBIEŻNOŚĆ

Ciąg geometryczny nazywany jest naprzemiennym gdy q < 0.
Szereg geometryczny

Ciąg nieskończony (Sn) o wyrazach:
S1 = a1
S2 = a1 + a1q
S3 = a1 + a1q + a1q2
S4 = a1 + a1q + a1q2 + a1q3
...
Sn = a1 + a1q + ... + a1qn-1
...
nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu geometrycznego (an) lub szeregiem geometrycznym.

Ciąg sum częściowych (Sn) ciągu geometrycznego jest zbieżny i ma granicę S, wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1 lub a1 = 0 i wówczas: