MATEMATYKA - ALGEBRA
Całki




FUNKCJA PIERWOTNA

Funkcją pierwotną funkcji rzeczywistej f, określonej na zbiorze Df ⊂ R, nazywamy dowolną funkcję F taką, że jej pochodna jest dana funkcja f.

Gdy zbiór Df jest przedziałem, to każda funkcja pierwotna funkcji f ma postać F(x) + C gdzie C ∈ R.


CAŁKA NIEOZNACZONA

Całką nieoznaczoną funkcji f nazywamy rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych F(x) + C i zapisujemy:

∫ f(x)dx = F(x) + C

gdzie: f - funkcja podcałkowa;
C - stała całkowania;
x - zmienna całkowania;
f(x)dx - wyrażenie podcałkowe;
- symbol całkowania.

Funkcję f, która w przedziale X ma funkcję pierwotną F nazywamy całkowalną w tym przedziale.

(F(x) + C)' = [∫ f(x)dx]' = f(x)

Podstawowe prawa całkowania

Całka z iloczynu funkcji przez stałą

∫a ∙ f(x)dx = a ∙ ∫ f(x)dx gdzie: a ∈ R

Całka z sumy (różnicy) funkcji

∫ [f(x) ∓ g(x)]dx = ∫ f(x)dx ∓ ∫ g(x)dx

Całkowanie przez części

∫ f(x) ∙ g '(x)dx = f(x) ∙ g(x) - ∫ f '(x) ∙ g(x)dx

Całkowanie przez podstawianie

∫ f[g(x)] ∙ g '(x)dx = ∫ f(t)

gdzie: t = g(x) i dt = g '(x)dx

Całki funkcji elementarnych






Całka oznaczona

Liczbę daną wzorem:

gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f ciągłej w przedziale <a; b> nazywamy całką oznaczoną funkcji f w przedziale <a; b>. (a,b - górna i dolna granica całkowania)


PODSTAWOWE WŁASNOŚCI CAŁKI OZNACZONEJ


Obliczanie pól figur











ZA POMOCĄ CAŁEK MOŻNA TAKŻE OBLICZAĆ POWIERZCHNIĘ BRYŁ OBROTOWYCH !!!