MATEMATYKA - ALGEBRA
Przebieg zmienności funkcji

Kalkulator


Wprowadź pierwszą z liczb na której chcesz wykonać działanie:


Wprowadź drugą z liczb na której chcesz wykonać działanie:



Jakie działanie chcesz przeprowadzić ?






Ekstrema


EKSTREMUM LOKALNE FUNKCJI

Maksimum lokalne

Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df maksimum lokalne równe f(x0) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie T punktu x0, że dla każdego x ∈ T ∩ Df i x ≠ x0 jest spełniona nierówność: f(x) < f(x0).

Maksimum lokalne wyznaczamy przy pomocy różniczkowego kryterium istnienia ekstremum lokalnego funkcji.


Maksimum lokalne

Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df minimum lokalne równe f(x0) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie T punktu x0, że dla każdego x ∈ T ∩ Df i x ≠ x0 jest spełniona nierówność: f(x) > f(x0).

Maksimum lokalne wyznaczamy przy pomocy różniczkowego kryterium istnienia ekstremum lokalnego funkcji.


Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji

Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df ekstremum i ma w tym punkcie pochodną to f '(x0) = 0.


I warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji

Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 ∈ Df i ma pochodnaw penym sąsiedztwie S ( x0, δ), przy czym:
f '(x) > 0 dla x ∈ (x0 - δ;x0) i f '(x) < 0 dla x ∈ (x0; x0 + δ)
f '(x) < 0 dla x ∈ (x0 - δ;x0) i f '(x) > 0 dla x ∈ (x0; x0 + δ)
to funkcja ma w punkcie x0 maksimum (minimum) lokalne.


II warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji

Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu T ⊂ Df punktu x0 i jej II pochodna jest ciągła w tym otoczeniu, oraz f '(x0) = 0 i f ''(x0) > 0 f ''(x0) < 0, to funkcja f ma w punkcie x0 minimum (maksimum) lokalne równe f(x0).


EKSTREMUM GLOBALNE (ABSOLUTNE) FUNKCJI

Funkcja y = f(x) ma w punkcie x0 ∈ Df minimum (maksimum) globalne, jeżeli dla każdego x ∈ Df spełniona jest nierówność: f(x) ≥ f(x0) f(x) ≤ f(x0).
Styczna i tangens kąta


RÓWNANIE STYCZNEJ DO WYKRESU FUNKCJI

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz f(x0) = y0 to prostą l:
y - y0 = f '(x0)(x - x0)
nazywamy styczną do wykresu funkcji f w punkcie K0 = (x0; y0).

f '(x0) jest współczynnikiem kierunkowym prostej l stycznej do wykresu funkcji f w punkcie K0 = (x0; y0).


TANGENS KĄTA PRZECIĘCIA SIĘ WZKRESÓW FUNKCJI

gdy 1 + f '(x0) ∙ g '(x0) ≠ 0
Gdy 1 + f '(x0) ∙ g '(x0) = 0 to wykresy funkcji f i g przecinają się pod kątem prostym.
Asymptota


ASYMPTOTA PIONOWA

Niech funkcja f jest okerślona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu x0. Prosta o równaniu x = x0 jest asymptotą lewostronną wykresu funkcji f jeśli:

Niech funkcja f jest okerślona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu x0. Prosta o równaniu x = x0 jest asymptotą prawostronną wykresu funkcji f jeśli:

Niech funkcja f jest okerślona w pewnym sąsiedztwie punktu x0. Prosta o równaniu x = x0 jest asymptotą pionową (obustronną) wykresu funkcji f, jeśli jest jednocześnie asymptota lewostronną i prawostronną tego wykresu.




ASYMPTOTA UKOŚNA

Prostą o równaniu y = ax + b (a,b ∈ R, a ≠ 0) jest asymptotą ukośną prawostroną (lewostronną) wykresu funkcji y = f(x) jeżeli:



Jeżeli:

lub

to wykres funkcji f ma asymptotę ukośną y = ax + b.

Jeżeli a = 0 i b ∈ R to prosta y = b jest asymptotą poziomą.




ASYMPTOTA POZIOMA

Prosta y = b jest asymptotą poziomą lewostronną (prawostronną) wykresu funkcji f, jeśli:





PUNKT PRZEGIĘCIA

Punkt (x0; f(x0)) jest punktem przegięcia wykresu funkcji y = f(x), jeżeli w lewostronnym sąsiedztwie punktu x0 funkcja jest wypukła i w prawostronnym sąsiedztwie punktu x0 wklęsła, lub odwrotnie.

Jeżeli funkcja y = f(x) ma w przedziale (a; b) I i II pochodną ciągłą, to punkt (x0; f(x0)) gdzie x0 ∈ (a; b), jest punktem przegięcia wykresu funkcji y = f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy f ''(x0) = 0, a znaki f ''(x) w lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwie punktu x0 są różne.

Przebieg zmienności funkcji


BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI y = f(x)

Badanie przebiegu zmienności funkcji ma na celu uzyskanie wyczerpującej informacji o tej funkcji.
Wykonuje się je wg. schematu:

I. ANALIZA FUNKCJI:
1. Wyznaczenie dziedziny funkcji.
2. Obliczenie granic na krańcach przedziałów.
3. Wyznaczenie asymptot.
4. Wyznaczenie punktów przegięcia z osiami 0X i 0Y.
5. Zbadanie parzystości i nieparzystości funkcji.

II. ANALIZA I POCHODNEJ FUNKCJI:
1. Wyznaczenie zbioru w którym funkcja jest różniczkowalna.
2. Wyznaczenie miejsc zerowych I pochodnej.
3. Wyznaczenie f '(x) > 0 i f '(x) < 0 oraz określenie monotoniczności funkcji.
4. Wyznaczenie ekstremów lokalnych funkcji.

III. ANALIZA II POCHODNEJ FUNKCJI:
1. Wyznaczenie zbioru w którym f '(x) jest różniczkowalna.
2. Wyznaczenie miejsc zerowych II pochodnej.
3. Określenie przedziałów wklęsłości i wypukłości funkcji.
4. Wyznaczenie punktów przegięcia.
5. Wyznaczenie ekstremów funkcji.

IV. SPORZĄDZENIE TABELI PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI.
V. SPORZĄDZENIE WYKRESU FUNKCJI.